自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响,用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x1>
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自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响,用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x1>0。不考虑其它因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c。 (1)求xn+1与xn的关系式; (2)猜测:当且仅当x1,a,b,c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明) (3)设a=2,b=1,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论。 |
答案
解:(1)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为 因此 即。 (2)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1,n∈N*,从而由(*)式得 恒等于0,n∈N* 所以,即 因为x1>0, 所以a>b 猜测:当且仅当a>b,且时,每年年初鱼群的总量保持不变。 (3)若b的值使得xn>0,n∈N* 由xn+1=xn(3-b-xn),n∈N*, 知0<xn<3-b,n∈N*, 特别地,有0<x1<3-b 即0<b<3-x1 而x1∈(0,2), 所以 由此猜测b的最大允许值是1 下证当x1∈(0,2),b=1时,都有xn∈(0,2),n∈N* ①当n=1时,结论显然成立; ②假设当n=k时结论成立,即xk∈(0,2), 则当n=k+1时,xk+1=xk(2-xk)>0 又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0,2),故当n=k+1时结论也成立 由①、②可知,对于任意的n∈N*,都有xn∈(0,2) 综上所述,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N*, 则捕捞强度b的最大允许值是1。 |
举一反三
已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=an(4-an),n∈N, (1)证明an<an+1<2,n∈N; (2)求数列{an}的通项公式an。 |
若数列{an}中,a1=3,且an+1=an2(n是正整数),则数列的通项an=( )。 |
已知a>0,数列{an}满足a1=a,an+1=a+,n=1,2,…。 (1)已知数列{an}极限存在且大于零,求A=(将A用a表示); (2)设bn=an-A,n=1,2,…,证明:; (3)若|bn|≤对n=1,2,…都成立,求a的取值范围。 |
已知数列{an},满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项。 |
已知数列{an}中a1=1,且a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,……。 (1)求a3,a5; (2)求{an}的通项公式。 |
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