已知Pn是把Pn-1Pn+1线段作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，…，PnPn+1，的长度分别为a1，a2，a3，…，an，其中a1

题型：湖南省期中题难度：来源：

已知P_n是把P_n-1P_n+1线段作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，设线段P₁P₂，P₂P₃，…，P_nP_n+1，的长度分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1。
（1）写出a₂，a₃和a_n的表达式；
（2）证明a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）设点M_n（n，a_n），在这些点中是否存在两个点同时在函数）的图象上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由已知P_n﹣1Pn=（n﹣1）P_nP_n﹣1
令n=2，P₁P₂=P₂P₃，
∴a₂=1，同理
。
（2）∵
a₁+a₂+a₃+…+a_n
而n=1时，结论成立，
故a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）假设有两个点A（p，a_p），B（q，a_q），都在函数上，
即，
所以，，
消去k得 ①，
以下考查数列的增减情况，
，
当n＞2时，n²﹣3n+1＞0，
所以对于数列{b_n}为递减数列
∴不可能存在p，q使得①式成立，因而不存在。