如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(0＜y1＜y2＜…＜yn，n∈N*)是曲线C：y2=3x(y≥0)上的n个点，点Ai(ai

题型：安徽省模拟题难度：来源：

如图，P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)(0＜y₁＜y₂＜…＜y_n，n∈N*)是曲线C：y²=3x(y≥0)上的n个点，点A_i(a_i，0)(i=1，2，3，…，n)在x轴的正半轴上，△A_i-1A_iP_i是正三角形(A₀是坐标原点)，
(1)求a₁，a₂，a₃；
(2)求出点A_n(a_n，0)(n∈N*)的横坐标a_n关于n的表达式；
(3)设，若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t²-mt+＞b_n恒成立，求实数t的取值范围。

答案

解：(1)a₁=2，a₂=6，a₃=12；
(2)依题意A_n(a_n，0)，，
则，
在正三角形中，有，
∴，
∴，
∴，①
同理可得，②
②-①并变形得，
，
∴，
∴，
∴数列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=4为首项，公差为2的等差数列，
∴，
∴
，
∴。
(3)，
∴，
∴

，
∵当n∈N*时，上式恒为负值，
∴当n∈N*时，b_n+1＜b_n，
∴数列{b_n}是递减数列，
∴b_n的最大值为，
若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，
则不等式在m∈[-1，1]时恒成立，
即不等式t²-2mt＞0在m∈[-1，1]时恒成立，
设f(m)=t²-2mt，则f(1)＞0且f(-1)＞0，
∴，解之，得t＜-2或t＞2，
即t的取值范围是(-∞，-2)∪(2，+∞)。