已知数列{an} 的前n项和为Sn ,且有a1=2,3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2).(1)若bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn
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已知数列{an} 的前n项和为Sn ,且有a1=2,3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2). (1)若bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn; (2)若cn=tn[lg(2t)n+lgan+2](0<t<1),且数列{cn} 中的每一项总小于它后面的项,求实数t的取值范围. |
答案
(1)∵3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2),∴3an=5an-an-1,化为an=an-1. ∴数列{an}是以2为首项,为公比的等比数列, ∴an=2×()n-1=22-n. ∴bn=(2n-1)•22-n. ∴Tn=1×2+3×20+5×2-1+…+(2n-3)×23-n+(2n-1)•22-n, 2Tn=1×22+3×21+…+(2n-3)•24-n+(2n-1)•23-n. ∴Tn=4+2×21+2×20+…+2×23-n-(2n-1)•22-n. =2×-4-(2n-1)•22-n =16(1-)-4-(2n-1)22-n =12--(2n-1)•22-n. (2)cn=tn[lg(2t)n+lg2-n]=ntn[lg(2t)-1]. ∵cn<cn+1,∴ntn[lg(2t)-1]<(n+1)tn+1[lg(2t)-1].(*) ∵0<t<1,∴0<2t<2,∴lg(2t)<1. ∴(*)化为n>(n+1)t,∴t<. ∵随着n的增大而减小, ∴t<. 而0<t<1. 得到0<t<.即为t的取值范围. |
举一反三
在数列中,对于任意自然数,都有a1+a2+…+an=2n-1,则a12+a22+…+an2=______. |
已知数列{an}满足:an+1=2an+n-1(n∈N*),a1=1; (1)求数列{an}的通项公式an; (2)设bn=nan,求Sn=b1+b2+…+bn. |
数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(an-l),数列{bn}满足bn=bn-1-(n≥2),b1=3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式. (2)设数列{cn} 满足cn=anlog2(bn+1),其前n项和为Tn,求Tn. |
已知数列{an}的前n项和为Sn,且曲线y=x2-nx+1(n∈N*)在x=an处的切线的斜率恰好为Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前n项和为Tn; (3)求证:+++…<. |
已知f(x)=2x-1,g(x)=-2x,数列{an} (n∈N*)的各项都是整数,其前n项和为Sn,若点(a2n-1,a2n)在函数y=f(x)或y=g(x)的图象上,且当n为偶数时,an=,则 (1)S8=______; (2)S4n=______. |
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