数列{an}的前n项和为sn,a1=1,an+1=2sn+1,(n≥1),等差数列{bn}的各项均为正数,前n项和为Bn,且B3=15,又a1+b1,a2+b2
题型:不详难度:来源:
数列{an}的前n项和为sn,a1=1,an+1=2sn+1,(n≥1),等差数列{bn}的各项均为正数,前n项和为Bn,且B3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)若Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,求Tn的表达式. |
答案
(Ⅰ)∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*), ∴an=2Sn-1+1(n∈N*,n>1), ∴an+1-an=2(Sn-Sn-1), ∴an+1-an=2an, ∴an+1=3an(n∈N*,n>1)(2分) 而a2=2a1+1=3=3a1, ∴an+1=3an(n∈N*) ∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列, ∴an=3n-1(n∈N*)(4分) ∴a1=1,a2=3,a3=9, 在等差数列{bn}中, ∵b1+b2+b3=15, ∴b2=5. 又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列,设等差数列{bn}的公差为d, ∴(1+5-d)(9+5+d)=64(6分) 解得d=-10,或d=2, ∵bn>0(n∈N*), ∴舍去d=-10,取d=2, ∴b1=3, ∴bn=2n+1(n∈N*).(8分) (Ⅱ)∵Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn, ∴由(Ⅰ)知Tn=3×1+5×3+7×32++(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,① 3Tn=3×3+5×32+7×33++(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,②(10分) ①-②得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33++2×3n-1-(2n+1)3n,(12分) =3+2(3+32+33++3n-1)-(2n+1)3n =3+2×-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n•3n, ∴Tn=n•3n.(14分) |
举一反三
在等差数列是{an}中,已知a4与a2与a8的等比中项,a3+2是a2与a6的等差中项,Sn是前n项和,则满足<+++…+<(n∈N*)的所有n值的和为______. |
设数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2-an,(n=1,2,3,…) (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1,且bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式; (Ⅲ)cn=,求cn的前n项和Tn. |
在等差数列{an}中,a1=-2 012,其前n项和为Sn,若-=2,则S2012的值等于( )A.-2 011 | B.-2 012 | C.-2 010 | D.-2 013 |
|
设公差不为0的等差数列{an}的首项为1,且a2,a5,a14构成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足++…+=1-,n∈N*,求{bn}的前n项和Tn. |
若两整数a,b除以同一个整数m,所得余数相同,则称a,b对模m同余.即当a,b,m∈z时,若=k(k∈z,k≠0),则称a、b对模m同余,用符号a=b(modm)表示. (1)若6=b(mod2)且0<b<6,则b的所有可能取值为______; (2)若a=10(modm)(a>10,m>1),满足条件的a由小到大依次记为a1,a2…an,…,当数列{an}前m-1项的和为60(m-1)时,则m=______. |
最新试题
热门考点