已知{bn}是公比大于1的等比数列,它的前n项和为Sn,若S3=14,b1+8,3b2,b3+6成等差数列,且a1=1,an=bn•(1b1+1b2+…+1bn
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已知{bn}是公比大于1的等比数列,它的前n项和为Sn,若S3=14,b1+8,3b2,b3+6成等差数列,且a1=1,an=bn•(1b1+1b2+…+1bn
题型:张掖模拟
难度:
来源:
已知{b
n
}是公比大于1的等比数列,它的前n项和为S
n
,若S
3
=14,b
1
+8,3b
2
,b
3
+6成等差数列,且a
1
=1,
a
n
=
b
n
•(
1
b
1
+
1
b
2
+…+
1
b
n-1
)
(n≥2).
(1)求b
n
;
(2)求数列{na
n
}的前n项和S
n
.
答案
(1)依S
3
=14,b
1
+8,3b
2
,b
3
+6成等差数列,
得
b
1
(1+q+
q
2
)=14
6
b
1
q=
b
1
+
b
1
q
2
+14
(2分)
从而2q
2
-5q+2=0得
q=2
b
1
=2
故b
n
=2
n
.(4分)
(2)当n≥2时,
a
n
=
2
n
•(
1
2
+
1
2
2
+…+
1
2
n-1
)
=2
n
-2
则S
n
=a
1
+2a
2
+3a
3
+…+na
n
=1+2(2
2
-2)+3(2
3
-2)+…+n(2
n
-2)
=1+(2×2
2
+3×2
3
+…+n×2
n
)-2(2+3+…+n)(1分)
令
T
n
=2×
2
2
+3×
2
3
+…+n×
2
n
2
T
n
=2×
2
3
+3×
2
4
+…+n×
2
n+1
得
-
T
n
=8+
8(1-
2
n-2
)
1-2
-n×
2
n+1
=(1-n)•2
n+1
故
T
n
=(n-1)•
2
n+1
.(3分)
于是S
n
=
1+(n-1)•
2
n+1
-2×
(n-1)(n+2)
2
=(n-1)•2
n+1
-n
2
-n+3.(2分)
举一反三
在一个数列中,如果∀n∈N°,都有a
n
a
n+1
a
n+2
=k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列,k叫做这个数列的公积.已知数列a
n
是等积数列,且a
1
=1,a
2
=2,公积为8,则a
1
+a
2
+a
3
+…+a
12
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
数列{a
n
}中,a
1
=1,且a
1
,a
2
-a
1
,a
3
-a
2
,…,a
n
-a
n-1
,…是公比为
1
3
的等比数列,则数列{a
n
}的通项公式a
n
=( )
A.
3
2
(1-
1
3
n
)
B.
3
2
(1-
1
3
n-1
)
C.
2
3
(1-
1
3
n
)
D.
2
3
(1-
1
3
n-1
)
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知各项均为正数的数列{a
n
},满足:a
1
=3,且
2
a
n+1
-
a
n
2
a
n
-
a
n+1
=
a
n
a
n+1
,n∈N
*
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设S
n
=a
1
2
+a
2
2
+…+a
n
2
,
T
n
=
1
a
21
+
1
a
22
+…+a
1
a
2n
,求S
n
+T
n
,并确定最小正整数n,使S
n
+T
n
为整数.
题型:江西
难度:
|
查看答案
已知正项数列{a
n
}满足
a
1
=P(0<P<1),且
a
n+1
=
a
n
a
n
+1
,
(1)求数列的通项a
n
;
(2)求证:
a
1
2
+
a
2
3
+
a
3
4
+…+
a
n
n+1
<1
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
[x]为x的整数部分.当n≥2时,则
[
1
1
2
+
1
2
2
+
1
3
2
+…+
1
n
2
]
的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:不详
难度:
|
查看答案
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