已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=aa-1(an-1)(其中a为常数且a≠0,a≠1,n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=nan,求
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已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=aa-1(an-1)(其中a为常数且a≠0,a≠1,n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=nan,求
题型:安徽模拟
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的前n项和S
n
满足:
S
n
=
a
a-1
(
a
n
-1)
(其中a为常数且a≠0,a≠1,n∈N
*
)
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)记b
n
=na
n
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
答案
(1)∵
S
n
=
a
a-1
(
a
n
-1)
,
∴
S
n+1
=
a
a-1
(a
n+1
-1)
,
从而a
n+1
=S
n+1
-S
n
=
a
a-1
(a
n+1
-a
n
),
∴a
n+1
=a•a
n
,
当n=1时,由
S
n
=
a
a-1
(
a
n
-1)
,得a
1
=a.
∴数列{a
n
}是以a为首项,a为公比的等比数列,故
a
n
=a
n
.
(2)由(1)得
b
n
=n
•a
n
,
∴
T
n
=a+2
a
2
+3
a
3
+…+n
a
n
,
从而aT
n
=a
2
+2a
3
+3a
4
+…+na
n+1
,
两式相减,得
(1-a)
T
n
=a+
a
2
+
a
3
+…
+a
n
-na
n+1
,
∵a≠0,且a≠1,
∴
(1-a)
T
n
=
a(1-
a
n
)
1-a
-n
a
n+1
=
n
a
n+2
-(n+1)
a
n+1
+a
1-a
,
从而T
n
=
n
a
n+2
-(n+1)
a
n+1
+a
(1-a
)
2
.
举一反三
已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=1-5+9-13+…+(-1)
n-1
(4n-3),求S
15
+S
22
-S
31
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}满足:a
1
=1;a
n+1
-a
n
=1,n∈N
*
.数列{b
n
}的前n项和为S
n
,且S
n
+b
n
=2,n∈N
*
.
(1)求数列{a
n
}、{b
n
}的通项公式;
(2)令数列{c
n
}满足c
n
=a
n
•b
n
,求其前n项和为T
n
.
题型:宁国市模拟
难度:
|
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求证:
C
0n
+3
C
1n
+5
C
2n
+…+(2n+1)
C
nn
=(n+1)
2
n
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
求数列
1
1×3
,
1
2×4
,
1
3×5
,…,
1
n(n+2)
,…的前n项和S.
题型:不详
难度:
|
查看答案
数列{a
n
}:a
1
=1,a
2
=3,a
3
=2,a
n+2
=a
n+1
-a
n
,求S
2002
.
题型:不详
难度:
|
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