已知f(n)=log2(1+1n)(n∈N+),对正整数k,如果f(n)满足:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(k+1)为整数,则称k为“好数”,那么区间[
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已知f(n)=log2(1+1n)(n∈N+),对正整数k,如果f(n)满足:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(k+1)为整数,则称k为“好数”,那么区间[
题型:不详
难度:
来源:
已知
f(n)=lo
g
2
(1+
1
n
)(n∈
N
+
)
,对正整数k,如果f(n)满足:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(k+1)为整数,则称k为“好数”,那么区间[1,129]内所有“好数”的和S=______.
答案
∵
f(n)=lo
g
2
(1+
1
n
)(n∈
N
+
)
,
∴f(1)=log
2
2=1,
f(1)+f(2)+f(3)=
log
2
(
2
1
×
3
2
×
4
3
)
=log
2
4=2,
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)
=
log
2
(
2
1
×
3
2
×
4
3
×
5
4
×
6
5
×
7
6
×
8
7
)
=log
2
8=3.
…
由题设知k=2
n
-2,
由2
n
-1≤129,解得1≤n≤7,
∴[1,129]内所有“好数”的和
S=(2-2)+(2
2
-2)+(2
3
-2)+…+(2
7
-2)
=
2(1-
2
7
)
1-2
-14=240.
故答案为:240.
举一反三
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,令
T
n
=
S
1
+
S
2
+…+
S
n
n
,称T
n
为数列a
1
,a
2
,…,a
n
的“理想数”,已知数列a
1
,a
2
,…,a
400
的“理想数”为2005,则11,a
1
,a
2
,…,a
400
的“理想数”为( )
A.2010
B.2011
C.2012
D.2013
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和为
S
n
=
n
2
+1
,数列{b
n
}满足:
b
n
=
2
a
n
+1
,前n项和为T
n
,设C
n
=T
2n+1
-T
n
.
(1)求数列{b
n
}的通项公式;
(2)是否存在自然数k,当n≥k时,总有
C
n
<
16
21
成立,若存在,求自然数k的最小值.若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
=log
2
n+1
n+2
(n∈N
*
),设其前n项和为S
n
,则使S
n
<-5成立的自然数n( )
A.有最小值63
B.有最大值63
C.有最小值31
D.有最大值31
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}的通项
a
n
=(2co
s
2
nπ
3
-1)
n
2
,其前n项和为S
n
,则S
24
的值为( )
A.470
B.360
C.304
D.169
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的各项均为正数,且满足a
2
=5,
a
n+1
=
a
n
2
-2n
a
n
+2,(n∈N*)
.
(1)推测{a
n
}的通项公式;
(2)若
b
n
=
2
n-1
,令c
n
=a
n
+b
n
,求数列c
n
的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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