记数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1.已知数列{bn}满足bn-2=3log3an.(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;(Ⅱ)设c
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记数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1.已知数列{bn}满足bn-2=3log3an. (Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)设cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Tn. |
答案
(Ⅰ)由an+1=2Sn+1,得an=2Sn-1+1,(n≥2) 两式相减,得an+1-an=2an,an+1=3an,(n≥2) 又a2=2S1+1,∴a2=3a1. 所以{an}是首项为1,公比为3的等比数列. ∴an=3n-1.…(4分) 又∵bn=3log3an+2=3log33n-1+2=3(n-1)+2=3n-1. ∴bn=3n-1..…(7分) (Ⅱ)由(Ⅰ),得cn=(3n-1)×3n-1..…(8分) ∴Tn=2×1+5×31+8×32+…+(3n-4)×3n-2+(3n-1)×3n-1,…(9分) 3Tn=2×3+5×32+8×33+…+(3n-4)×3n-1+(3n-1)×3n, 两式相减,得:-2Tn=2+3×3+3×32+…+3×3n-1-(3n-1)×3n=--×3n, ∴Tn=+•3n…(13分) 应改为:-2Tn=2+3×3+3×32+…+3×3n-1-(3n-1)×3n=--×3n, ∴Tn=+•3n…(13分) |
举一反三
已知数列{an}的前n项和Sn=1-an,公差为3的等差数列{bn}满足b2是b1与b6的等比中项. (I)求数列{an},{bn}的通项公式; (II)令cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn. |
某工厂用7万元钱购买了一台新机器,运输安装费用2千元,每年投保、动力消耗的费用也为2千元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为2千元,第二年为3千元,第三年为4千元,依此类推,即每年增加1千元. (Ⅰ)求使用n年后,保养、维修、更换易损零件的累计费用S(千元)关于n的表达式; (Ⅱ)问这台机器最佳使用年限是多少年?并求出年平均费用(单位:千元)的最小值.(最佳使用年限是指使年平均费用最小的时间,年平均费用=(购入机器费用+运输安装费用+每年投保、动力消耗的费用+保养、维修、更换易损零件的累计费用)÷机器使用的年数 ) |
已知f(n)=log2(1+)(n∈N+),对正整数k,如果f(n)满足:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(k+1)为整数,则称k为“好数”,那么区间[1,129]内所有“好数”的和S=______. |
设数列{an}的前n项和为Sn,令Tn=,称Tn为数列a1,a2,…,an的“理想数”,已知数列a1,a2,…,a400的“理想数”为2005,则11,a1,a2,…,a400的“理想数”为( ) |
已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+1,数列{bn}满足:bn=,前n项和为Tn,设Cn=T2n+1-Tn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)是否存在自然数k,当n≥k时,总有Cn<成立,若存在,求自然数k的最小值.若不存在,说明理由. |
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