已知数列{an}满足a1=-1,an+1-2an-3=0数列{bn}满足bn=log2(an+3).(1)求{bn}的通项公式;(2)若数列{2n+1bn}的前
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已知数列{an}满足a1=-1,an+1-2an-3=0数列{bn}满足bn=log2(an+3). (1)求{bn}的通项公式; (2)若数列{2n+1bn}的前n项的和为sn,试比较sn与8n2-4n的大小. |
答案
(1)由有an+1-2an-3=0,得:an+1+3=2(an+3), ∴an+3=(a1+3)2n-1=2n, ∴bn=log22n=n; (2)∵Sn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1① ①×2得:2Sn=1×23+2×24+3×25+…+n×2n+2② ①-②得:Sn=22+23+24+…+2n+1-n×2n+2=-n×2n+2, ∴Sn=4+(n-1)×2n+2, ∴Sn-(8n2-4n)=4+(n-1)×2n+2-8n2+4n=(n-1)2n+2-4(2n+1)(n-1)=4(n-1)[2n-(2n+1)] 当n=1时,Sn-(8n2-4n)=0,即Sn=8n2-4n; 当n=2时,Sn-(8n2-4n)=4×(22-5)=-4,即Sn<8n2-4n; 当n=3时,Sn-(8n2-4n)=4×2×(23-7)=8,即Sn>8n2-4n; 当n>3时,由指数函数的图象知总有2n>(2n+1), ∴n>3时,有Sn>8n2-4n. |
举一反三
设数列a1,a2,…,an,…满足a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数n,都有anan+1an+2≠1,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则a1+a2+…+a100的值是______. |
已知α为锐角,且tanα=-1,函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+),数列{an}的首项a1=1,an+1=f(an). (1)求函数f(x)的表达式; (2)在△ABC中,若∠A=2α,∠C=,BC=2,求△ABC的面积 (3)求数列{an}的前n项和Sn. |
已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2-(+1)an(n≥1). (1)求证:数列{}是等比数列; (2)设数列{2nan}的前n项和为Tn,An=+++…+.试比较An与的大小. |
已知数列{an}中,a1=,an•an-1=an-1-an(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*). (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{}的前n项和为Tn,证明Tn<-. |
已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,g(x)≠0,f(x)=axg(x),f′(x)g(x)<f(x)g′(x),+=,在有穷数列{},(n=1,2,…,10)中任取前k项相加,则前k项和大于的概率为______. |
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