已知{an}是首项为a1=1的等差数列且满足an+1>an(n∈N*),等比数列{bn}的前三项分别为b1=a1+1,b2=a2+1,b3=a3+3.(Ⅰ)求数
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已知{an}是首项为a1=1的等差数列且满足an+1>an(n∈N*),等比数列{bn}的前三项分别为b1=a1+1,b2=a2+1,b3=a3+3.(Ⅰ)求数
题型:不详
难度:
来源:
已知{a
n
}是首项为a
1
=1的等差数列且满足a
n+1
>a
n
(n∈N
*
),等比数列{b
n
}的前三项分别为b
1
=a
1
+1,b
2
=a
2
+1,b
3
=a
3
+3.
(Ⅰ)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{c
n
}满足(a
n
+3)c
n
log
2
b
n
=
1
2
,求数列{c
n
}的前n项和S
n
.
答案
(Ⅰ)设等差数列{a
n
}的公差为d,
首项a
1
=1,b
1
=2,b
2
=2+d,b
3
=4+2d,
∵{b
n
}为等比数列,∴
b
22
=
b
1
b
3
,
即(2+d)
2
=2(4+2d),解得d=±2,
又∵a
n+1
>a
n
,即数列{a
n
}为单调递增数列,
∴d=2,a
2
=3,a
3
=5,∴a
n
=a
1
+(n-1)d=2n-1,
则b
1
=2,b
2
=4,q=2,
∴
b
n
=
b
1
q
n-1
=
2
n
,
∴a
n
=2n-1,
b
n
=
2
n
,
(Ⅱ)由题意得,
(
a
n
+3)
c
n
lo
g
2
b
n
=
1
2
,再由(1)结果代入,
变形得
c
n
=
1
2(
a
n
+3)
log
2
b
n
=
1
2n(2n+2)
=
1
2
(
1
2n
-
1
2n+2
)
,
∴S
n
=
1
2
(
1
2
-
1
4
)+
1
2
(
1
4
-
1
6
)+
1
2
(
1
6
-
1
8
)
+…+
1
2
(
1
2n
-
1
2n+2
)
=
1
2
(
1
2
-
1
2n+2
)
=
n
4(n+1)
.
举一反三
已知数列{a
n
}中,a
1
=2,a
n+1
-a
n
-2n-2=0(n∈N
*
).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设
b
n
=
1
a
n+1
+
1
a
n+2
+
1
a
n+3
+…+
1
a
2n
,若对任意的正整数n,当m∈[-1,1]时,不等式
t
2
-2mt+
1
6
>
b
n
恒成立,求实数t的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}的各项均为正数,S
n
为其前n项和,对于任意n∈N
*
,总有
2
S
n
=
a
2n
+
a
n
.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ) 设正数数列{c
n
}满足
a
n+1
=(
c
n
)
n+1
,(n∈
N
*
)
,求数列{c
n
}中的最大项;
(Ⅲ) 求证:
T
n
=
1
a
41
+
1
a
42
+
1
a
43
+…+
1
a
4n
<
11
10
.
题型:不详
难度:
|
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在等比数列{a
n
}中,a
n
>0(n∈N
*
),且a
1
a
3
=4,a
3
+1是a
2
和a
4
的等差中项.
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(II)若数列{b
n
}满足b
n
=a
n+1
+log
2
a
n
(n=1,2,3…),求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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.在等比数列{a
n
}中,a
n
>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a
1
a
5
+2a
3
a
5
+a
2
a
8
=25,又2是a
3
与a
5
的等比中项.设b
n
=5-log
2
a
n
.
(1)求数列{b
n
}的通项公式;
(2)已知数列{b
n
}的前n项和为S
n
,
T
n
=
1
S
1
+
1
S
2
+…+
1
S
n
,求T
n
.
题型:不详
难度:
|
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对于一切实数x,令[x]为不大于x的最大整数,则函数f(x)=[x]为高斯实数或取实数,若
a
n
=f(
n
3
),n∈
N
*
,S
n
为数列{a
n
}的前n项和,则S
3n
=______.
题型:不详
难度:
|
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