(1)在等式Sn+m=(S2n+S2m)-(n-m)2中, 分别令m=1,m=2,得 Sn+1=(S2n+S2)-(n-1)2,① Sn+2=(S2n+S4)-(n-2)2,② ②-①,得an+2=2n-3+, 在等式Sn+m=(S2n+S2m)-(n-m)2中, 令n=1,m=2,得 S3=(S2+S4)-1, 由题设知,S2=11,S3=19, 故S4=29, 所以an+2=2n+6,(n∈N*), 即an=2n+2,(n≥3,n∈N*), 又a2=6也适合上式, 故an=,即Sn=n2+3n+1,n∈N*. (2)记Sn2-an+33=k2,(*) n=1时,无正整数k满足等式(*) n≥2时,等式(*)即为(n2+3n+1)2-3(n-10)=k2, ①当n=10时,k=131. ②当n>10时,则k<n2+3n+1, ∵k2-(n2+3n)2=2n2+3n+31>0, ∴k>n2+3n, 从而n2+3n<k<n2+3n+1, ∵n,k∈N*,∴k不存在,从而无正整数k满足等式(*). ③当n<10时,则k>n2+3n+1, ∵k∈N*,∴k≥n2+3n+2, 从而(n2+3n+1)2-3(n-10)≥(n2+3n+2)2. 即2n2+9n-27≤0, ∵n∈N*,∴n=1或2. n=1时,k2=52,无正整数解; n=2时,k2=145,无正整数解. 综上所述,满足等式(*)的n,k分别为n=10,k=131. |