已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+1+an•an+1-an=0.(Ⅰ)求证:数列{1an}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{

已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+1+an•an+1-an=0.(Ⅰ)求证:数列{1an}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{

题型:大连一模难度:来源:
已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+1+an•an+1-an=0.
(Ⅰ)求证:数列{
1
an
}
是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{
2n
an
}
前n项和Sn
答案
(Ⅰ)∵an+1+an•an+1-an=0,∴
an+1+anan+1-an
anan+1
=0

1
an+1
-
1
an
=1
1
a1
=1

∴数列{
1
an
}
是以1为首项,1为公差的等差数列.
1
an
=1+(n-1)×1=n
,可得an=
1
n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
2n
an
=n•2n

Sn=1×21+2×22+…+n×2n.①
2Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1.②
由①-②得-Sn=21+22+…+2n-n×2n+1
Sn=(n-1)2n+1+2
举一反三
下面的数组均由三个数组成,它们是:(1,2,3)、(2,4,6)、(3,8,11)、(4,16,20)、(5,32,37)、…、(an,bn,cn),若数列{cn}的前n项和为Mn,则M10=______.
题型:不详难度:| 查看答案
等比数列{an}为递增数列,且a4=
2
3
a3+a5=
20
9
,数列bn=log3
an
2
(n∈N*).
(1)求数列{bn}的前n项和Sn
(2)Tn=b1+b2+b22+…+b2n-1,求使Tn>0成立的最小值n.
题型:不详难度:| 查看答案
已知复数zn=an+bn•i,其中an∈R,bn∈R,n∈N*,i是虚数单位,且zn+1=2zn+
.
zn
+2i
,z1=1+i.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求和:①z1+z2+…+zn;②a1b1+a2b2+…+anbn
题型:虹口区二模难度:| 查看答案
记数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2=______.
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=
1
x+1
,点A0表示坐标原点,点An(n,f(n))(n∈N*),若向量


an
=


A0A1
+


A1A2
+…+


An-1An
,θn


an


i
的夹角,(其中


i
=(1,0)
),设Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn,则Sn=______.
题型:不详难度:| 查看答案
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