已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+1+an•an+1-an=0．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{

题型：大连一模难度：来源：

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

2n

an

}前n项和S_n．

答案

（Ⅰ）∵a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0，∴

an+1+an•an+1-an

an•an+1

=0，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，

1

a1

=1，
∴数列{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列．

1

an

=1+(n-1)×1=n，可得an=

1

n

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

2n

an

=n•2n．
Sn=1×21+2×22+…+n×2n．①
2Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1．②
由①-②得-Sn=21+22+…+2n-n×2n+1．
∴Sn=(n-1)2n+1+2．