定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方数列”．已知数列{an}中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象上

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定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列{2a_n+1}是“平方数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）设（1）中“平方数列”的前n项之积为T_n，即Tn=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式．
（3）记，求数列{b_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞4020的n的最小值．

答案

解：（1）由条件a_n+1=2a_n²+2a_n，得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．
∴{b_n}是“平方数列”．
∴lgb_n+1=2lgb_n．
∵lg（2a₁+1）=lg5≠0，
∴=2．
∴{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）∵lg（2a₁+1）=lg5，
∴lg（2a_n+1）=2^n﹣1×lg5，
∴2a_n+1=，
∴a_n=（）
∵lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）==（2ⁿ﹣1）lg5．
∴T_n=
（3）b_n==
∴＞4020
∴n的最小值为2011．