解:(Ⅰ)由已知,4 ,且an>0. 当n=1时,4 +2a1,解得a1=2. 当n≥2时,有4Sn﹣1= . 于是4Sn﹣4Sn﹣1= , 即4 . 于是 ,即(an+an﹣1)(an﹣an﹣1)=2(an+an﹣1). 因为an+an﹣1>0,所以an﹣an﹣1=2,n≥2. 故数列{an}是首项为2,公差为2的等差数列,且an=2n. (Ⅱ)证明:因为an=2n,则 , 所以 =(1﹣ )+( )+…+( ) =1﹣ . (Ⅲ)由 ,得2n(n+1)﹣4200>2n2,所以n>2100. 由题设,M={2000,2002,…,2008,2010,2012,…,2998}. 因为m∈M,所以m=2100,2102,…,2998均满足条件. 且这些数组成首项为2100,公差为2的等差数列. 设这个等差数列共有k项,则2100+2(k﹣1)=2998,解得k=450. 故集合M中满足条件的正整数m共有450个. |