设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,2是an+2 和an的等比中项.(Ⅰ)证明数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式

设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,2是an+2 和an的等比中项.(Ⅰ)证明数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式

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设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,2是an+2 和an的等比中项.
(Ⅰ)证明数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)证明++…+<1;
(Ⅲ)设集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500},若存在m∈M,使对满足n>m 的一切正整数n,不等式2Sn﹣4200>恒成立,求这样的正整数m共有多少个?
答案
解:(Ⅰ)由已知,4 ,且an>0. 
当n=1时,4 +2a1,解得a1=2.  
当n≥2时,有4Sn﹣1
于是4Sn﹣4Sn﹣1= ,
即4 
于是 ,即(an+an﹣1)(an﹣an﹣1)=2(an+an﹣1).
因为an+an﹣1>0,所以an﹣an﹣1=2,n≥2.
故数列{an}是首项为2,公差为2的等差数列,且an=2n.
(Ⅱ)证明:因为an=2n,则 ,
所以 =(1﹣ )+( )+…+( ) =1﹣ .
(Ⅲ)由 ,得2n(n+1)﹣4200>2n2,所以n>2100.  
由题设,M={2000,2002,…,2008,2010,2012,…,2998}.
因为m∈M,所以m=2100,2102,…,2998均满足条件.
且这些数组成首项为2100,公差为2的等差数列.
设这个等差数列共有k项,则2100+2(k﹣1)=2998,解得k=450.
故集合M中满足条件的正整数m共有450个.
举一反三
在数列{an}中,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:数列{bn}是等差数列;
(3)设数列{cn}满足cn=anbn,求{cn}的前n项和Sn
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设函数,数列{an}满足
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对n∈N*,设,求证:
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设函数,数列{an}满足
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对n∈N*,设,若恒成立,求实数t的取值范围.
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数列{}中,a1=8,a4=2,且满足+2﹣2+1+=0,n∈N.
(1)求数列{}的通项;
(2)设=|a1|+|a2|+…+||,求
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已知数列满足,则数列的前n项和(    )。
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