设数列{an}满足，令．（1）试判断数列{bn}是否为等差数列？（2）若，求{cn}前n项的和Sn；（3）是否存在m，n（m，n∈N*，m≠n）使得1，am，a

题型：江苏月考题难度：来源：

设数列{a_n}满足，令．
（1）试判断数列{b_n}是否为等差数列？
（2）若，求{c_n}前n项的和S_n；
（3）是否存在m，n（m，n∈N*，m≠n）使得1，a_m，a_n三个数依次成等比数列？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由．

答案

解：（1）由已知得=，
∴，
∵
所以b_n+1²=b_n²+2b_n+1
∴b_n+1=b_n+1，
所以数列{b_n}为等差数列；
（2）由（1）得：b _n+1=b_n+1且b₁=1，
∴b_n=n，即，
∴，
∴=，则

     =；
（3）设存在m，n满足条件，则有1a_n=a_m²
∴，
即4（n²﹣1）=（m²﹣1）²，所以m²﹣1必为偶数，设为2t，则
n²﹣1=t²，∴n²﹣t²=1
∴（n﹣t）（n+t）=1，
∴有或，
即n=1，t=0，
∴m²﹣1=2t=0，
∴m=1与已知矛盾．
∴不存在m，n（m，n∈N*，m≠n）使得1，a_m，a_n三个数依次成等比数列．