解:方法一:等价转化法(转化为函数问题) 由 ≥0得0≤ ≤2. 设 ,则 ,代入已知等式得: , 即 ,其对称轴为 =3. 由0≤ ≤2得 ∈[0,4]. 所以 的范围是:0≤ ≤4. 方法二:数形结合法(转化为解几何问题): 由 得 ,即表示如图所示椭圆,其一个顶点在坐标原点. 的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点.设圆方程为 ,代入椭圆中消 得 .由判别式 得 ,所以 的范围是: . 方法三: 三角换元法,对已知式和待求式都可以进行三角换元(转化为三角问题): 由 得 ,设 ,则
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191015/20191015112256-77423.png) 所以 的范围是: . |