已知函数f（x）=2x，数列{an}满足a1=f（0），且f（an+1）=（n∈N*），（1）证明数列{an}是等差数列，并求a2010的值；（2）分别求出满足

题型：浙江省期末题难度：来源：

已知函数f（x）=2^x，数列{a_n}满足a₁=f（0），且f（a_n+1）=（n∈N*），
（1）证明数列{a_n}是等差数列，并求a₂₀₁₀的值；
（2）分别求出满足下列三个不等式：，
的k的取值范围，并求出同时满足三个不等式的k的最大值；
（3）若不等式对一切n∈N*都成立，猜想k的最大值，并予以证明。

答案

解：（1）由，得，
即，
∴是等差数列，
∴，∴。
（2）由，得；
，得；
，得，
，
∴当k同时满足三个不等式时，。
（3）由，得恒成立，
令，
则，
，
∴，
∵F（n）是关于n的单调增函数，
∴，
∴。