在算式“1×□+4×□=30”的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数之和最小,则这两个数的和为______.

在算式“1×□+4×□=30”的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数之和最小,则这两个数的和为______.

题型:不详难度:来源:
在算式“1×□+4×□=30”的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数之和最小,则这两个数的和为______.
答案
设1×m+4n=30,m、n∈N+,则m=30-4n,其中1≤n≤7.
所以y=
1
m
+
1
n
=
1
30-4n
+
1
n
=
3(10-n)
n(30-4n)

1
y
=
n(30-4n)
3(10-n)
=
40n-4n2-10n
3(10-n)
=
4n(10-n)-10n
3(10-n)
=
4n
3
-
10n
3(10-n)
=
4n
3
+
10(10-n)-100
3(10-n)

=
4n
3
-
100
3(10-n)
+
10
3
=
-4(10-n)+40
3
-
100
3 (10-n)
+
10
3
=-
4
3
[(10-n)+
25
10-n
]+
50
3
≤-
4
3
×2×


25
+
50
3
=
10
3

当10-n=
25
10-n
时取等号,即
1
y
取得最大值,y取得最小值.
解得n=5,则m=10.所以m+n=15.
故答案为15.
举一反三
若A,B,C为△ABC的三个内角,则
4
A
+
1
B+C
的最小值为______.
题型:昌平区一模难度:| 查看答案
已知x,y都是正数.若3x+2y=12,求xy的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
若x>0,则x+
4
x
的最小值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
例2.求证:


a2+b2
+


b2+c2
+


c2+a2


2
(a+b+c)
题型:不详难度:| 查看答案
实数a>b>c且a+b=1-c,a•b=c(c-1),则c的取值范围为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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