国营二三八厂打算在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则

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国营二三八厂打算在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2010年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍，（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．
（1）将该厂家2010年该厂产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（2）该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家所获利润最大？

答案

解：（1）由题意可知当t=0时，x=1（万件），
∴1=4﹣kk=3．
∴．每件产品的销售价格为1.5×（元），
∴2010年的利润y=x·（1.5×）﹣（6+12x+t）
=3﹣t+6x=27﹣t﹣（t≥0）．
（2）∵t≥0时，2t+1≥1，令2t+1=m，则m≥1
∴2010年的利润y=27.5﹣≤27.5﹣6=21.5，
当且仅当m=3（万元）时，y_max=21.5（万元）．
所以当该厂家2010年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．