已知函数，其中且.（1）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点；（2）若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.

题型：不详难度：来源：

已知函数，其中且.
（1）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点；
（2）若函数在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.

答案

（1）详见解析；（2）实数的取值范围是．

解析

试题分析：（1）求证：函数在点处的切线与总有两个不同的公共点，先求出函数在点处的切线方程，因此对函数求导得，从而得，再求出，由点斜式即可得切线方程，证切线与总有两个不同的公共点，即方程有两个不同的解，即有两个不同的解，由已知，故方程存在两解，既得证．（2）若函数在区间上有且仅有一个极值点，只需在区间上有且仅有一个解，且在解的两边异号，而是二次函数，故只需，即可求出的取值范围．
（1）由已知可得.    1分
，                                  2分
又，在处的切线方程为.                       4分
令，整理得.或，          5分
  ，                                                     6分
与切线有两个不同的公共点.                                         7分
（2）在上有且仅有一个极值点，
在上有且仅有一个异号零点，                              9分
由二次函数图象性质可得，                                     10分
即，解得或，                              12分
综上，的取值范围是.                                         13分