试题分析:(Ⅰ)当时,求函数的单调区间,即判断在各个区间上的符号,只需对求导即可;(Ⅱ)当时,不等式恒成立,即恒成立,令 (),只需求出最大值,让最大值小于等于零即可,可利用导数求最值,从而求出的取值范围;(Ⅲ)要证(成立,即证,即证,由(Ⅱ)可知当时,在上恒成立,又因为,从而证出. 试题解析:(Ⅰ)当时,(),(), 由解得,由解得,故函数的单调递增区间为,单调递减区间为; (Ⅱ)因当时,不等式恒成立,即恒成立,设 (),只需即可.由, (ⅰ)当时,,当时,,函数在上单调递减,故 成立; (ⅱ)当时,由,因,所以,①若,即时,在区间上,,则函数在上单调递增,在 上无最大值(或:当时,),此时不满足条件;②若,即时,函数在上单调递减,在区间上单调递增,同样 在上无最大值,不满足条件 ; (ⅲ)当时,由,∵,∴, ∴,故函数在上单调递减,故成立. 综上所述,实数a的取值范围是. (Ⅲ)据(Ⅱ)知当时,在上恒成立,又, ∵ ,∴. |