已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,则m的取值范围是    .

已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,则m的取值范围是    .

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.若f(x)在x=-1处取得极值,直线ymyf(x)的图象有三个不同的交点,则m的取值范围是    
答案
(-3,1)
解析

试题分析:因为f(x)在x=-1处取得极大值,所以f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.所以f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3,由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1.由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的单调性可知,m的取值范围是(-3,1).
点评:本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及求最值和利用导数研究图象等问题,属于中档题.
举一反三
已知函数是定义在R上的奇函数,且当时不等式成立, 若 ,则的大小关系是    
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设函数,b∈Z),曲线在点(2,)处的切线方程为=3.
(1)求的解析式;
(2)证明:曲线=上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
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设函数
(I)若,求函数的极小值,
(Ⅱ)若,设,函数.若存在使得成立,求的取值范围.
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,则=______________.
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,…, .若,则的值为      .
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