解:(Ⅰ)由已知得 的定义域为 , 因为 ,所以 当 时, ,所以 , 因为 ,所以 ……………………2分 所以曲线 在点 处的切线方程为
,即 . …………………………4分 (Ⅱ)因为 在 处有极值,所以 , 由(Ⅰ)知 ,所以 经检验, 时 在 处有极值. …………………………5分 所以 ,令 解得 ; 因为 的定义域为 ,所以 的解集为 , 即 的单调递增区间为 . …………………………………………8分 (Ⅲ)假设存在实数 ,使 ( )有最小值3, ① 当 时,因为 ,所以 , 所以 在 上单调递减,
,解得 ,舍去. ……………………10分 ②当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,
,解得 ,满足条件. …………………12分 ③ 当 时,因为 ,所以 , 所以 在 上单调递减, , 解得 ,舍去. 综上,存在实数 ,使得当 时 有最小值3. ……………14分 |