给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f′（x）=（f′（x））′．若f″（

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给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f′（x）=（f′（x））′．若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在（0，

）上不是凸函数的是______．（把你认为正确的序号都填上）
①f（x）=sin x+cos x；
②f（x）=ln x-2x；
③f（x）=-x³+2x-1；
④f（x）=xe^x．

答案

对于①，f″（x）=-（sinx+cosx），x∈（0，

）时，
f″（x）＜0恒成立；
对于②，f″（x）=-

，在x∈（0，

）时，f″（x）＜0恒成立；
对于③，f″（x）=-6x，在x∈（0，

）时，f″（x）＜0恒成立；
对于④，f″（x）=（2+x）•e^x在x∈（0，

）时f″（x）＞0恒成立，
所以f（x）=xe^x不是凸函数．
故答案为：④

举一反三

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．

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lim

△x→0

f(x0+3△x)-f(x0)

△x

=1，则f"（x₀）等于（　　）

A．1

B．0

C．3

D．

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已知函数y=e^x的图象在点(ak，eak)处的切线与x轴的交点的横坐标为a_k+1，其中k∈N^*，a₁=0，则a₁+a₃+a₅=______．

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对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数f(x)=x3-

x2+3x-

，则它的对称中心为______；计算f(

2013

)+f(

2013

)+f(

2013

)+…+f(

2012

2013

)=______．

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已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^-x，（a为常数，e为自然对数的底）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（x），试判断曲线g（x）只可能与直线2x-3y+m=0、3x-2y+n=0（m，n为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．

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