已知函数．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，

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已知函数．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数，若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得
f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）当a=1时，函数，
∴f（1）=1﹣1﹣ln1=0.，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f"（1）=1+1﹣1=1．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1．  
（Ⅱ）．要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f"（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
即：ax²﹣x+a≥0得：恒成立．
由于，
∴，
∴
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，实数a的取值范围是．
（III）∵在[1，e]上是减函数
∴x=e时，g（x）min=1，x=1时，g（x）min=e，即g（x）∈[1，e]
f"（x）=
令h（x）=ax²﹣x+a
当时，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜1
又在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]
而f（x）max=f（e）=，g（x）min=1，即）=≥1
解得a≥
∴实数a的取值范围是[，+∞）