解:由, 求导得,f′(x)=a2x2-2ax, (Ⅰ)当a=1时,f′(1)=-1,f(1)=0, 所以f(x)在点(1,f(1))的切线方程是y=-x+1; (Ⅱ)令f′(x)=0得x1=0,, (1)当即a>2时,
故f(x)的极大值是,极小值是; (2)当即0<a≤2时,f(x)在(-1,0)上递增,在(0,1)上递减, 所以f(x)的极大值为,无极小值; (Ⅲ)设F(x)=f(x)-g(x), 对F(x)求导,得F′(x)=a2x2-2ax+a=a2x2+a(1-2x), 因为,a>0,所以F′(x)=a2x2+a(1-2x)>0, F(x)在区间上为增函数,则, 依题意,只需F(x)max>0, 即,即a2+6a-8>0, 解得(舍去), 所以正实数a的取值范围是。 |