试题分析:(1)由,得. 从而. 令,得驻点.讨论可知: 当时,,单调递减; 当时,,单调递增. 当时,有极小值,无极大值. (2)令,则. 根据,知在R上单调递增,又, 当时,由,即得. (3)思路一:对任意给定的正数c,取, 根据.得到当时,. 思路二:令,转化得到只需成立. 分,,应用导数研究的单调性. 思路三:就①,②,加以讨论. 试题解析:解法一: (1)由,得. 又,得. 所以,. 令,得. 当时,,单调递减; 当时,,单调递增. 所以当时,有极小值, 且极小值为, 无极大值. (2)令,则. 由(1)得,,即. 所以在R上单调递增,又, 所以当时,,即. (3)对任意给定的正数c,取, 由(2)知,当时,. 所以当时,,即. 因此,对任意给定的正数c,总存在,当时,恒有. 解法二:(1)同解法一. (2)同解法一. (3)令,要使不等式成立,只要成立. 而要使成立,则只需,即成立. ①若,则,易知当时,成立. 即对任意,取,当时,恒有. ②若,令,则, 所以当时,,在内单调递增. 取, , 易知,,所以. 因此对任意,取,当时,恒有. 综上,对任意给定的正数c,总存在,当时,恒有. 解法三:(1)同解法一. (2)同解法一. (3)①若,取, 由(2)的证明过程知,, 所以当时,有,即. ②若, 令,则, 令得. 当时,,单调递增. 取, , 易知,又在内单调递增, 所以当时,恒有,即. 综上,对任意给定的正数c,总存在,当时,恒有. |