试题分析:(1)当时,,易得函数的定义域为,求出导函数,利用判定函数在定义区间内的单调性,并求出的极小值; (2)由函数,令,得, 设,由求出函数的单调性以及极值,并且求出函数在的零点,画出的大致图像,并从图像中,可以得知,当在不同范围的时候,函数和函数的交点个数 (3)对任意恒成立,等价于恒成立,则在上单调递减,即在恒成立, 求出的取值范围. 试题解析:(1)当时, 易得函数的定义域为
当时,,此时在上是减函数; 当时,,此时在上是增函数; 当时,取得极小值 (2)函数 令,得 设
当时,,此时在上式增函数; 当时,,此时在上式增函数; 当时,取极大值 令,即,解得,或 函数的图像如图所示:
由图知: 当时,函数和函数无交点; ②当时,函数和函数有且仅有一个交点; ③当时,函数和函数有两个交点; ④时,函数和函数有且仅有一个交点; 综上所述,当时,函数无零点;当或时,函数有且仅有一个零点;当时,函数有两个零点. 对任意恒成立 等价于恒成立 设 在上单调递减 在恒成立
当且仅当当时, 的取值范围是 |