设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处
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设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处
题型:不详
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设函数f(x)=ax-
,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
答案
(1)f(x)=x-
(2)见解析
解析
解:(1)方程7x-4y-12=0可化为y=
x-3,
当x=2时,y=
.
又f′(x)=a+
,
于是
,解得
故f(x)=x-
.
(2)证明:设P(x
0
,y
0
)为曲线上任一点,由f′(x)=1+
知,曲线在点P(x
0
,y
0
)处的切线方程为y-y
0
=(1+
)·(x-x
0
),即y-(x
0
-
)=(1+
)(x-x
0
).
令x=0得,y=-
,从而得切线与直线x=0,交点坐标为(0,-
).
令y=x,得y=x=2x
0
,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x
0,
2x
0
).
所以点P(x
0
,y
0
)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为
|-
||2x
0
|=6.
曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.
举一反三
已知函数f(x)=x
3
+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;
(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-
x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
题型:不详
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设直线x=t与函数f(x)=x
2
,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为________.
题型:不详
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已知函数f(x)=1+x-
+
-
+…+
,则下列结论正确的是( )
A.f(x)在(0,1)上恰有一个零点
B.f(x)在(0,1)上恰有两个零点
C.f(x)在(-1,0)上恰有一个零点
D.f(x)在(-1,0)上恰有两个零点
题型:不详
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已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)+xf′(x)>0(其中f′(x)是f(x)的导函数),设a=(
4)f(
4),b=
f(
),c=(lg
)f(lg
),则a,b,c由大到小的关系是________.
题型:不详
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已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax
,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于________.
题型:不详
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