已知函数f(x)=1+x-+-+…+,则下列结论正确的是( )A.f(x)在(0,1)上恰有一个零点B.f(x)在(0,1)上恰有两个零点C.f(x)在(-1
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已知函数f(x)=1+x-+-+…+,则下列结论正确的是( )A.f(x)在(0,1)上恰有一个零点B.f(x)在(0,1)上恰有两个零点C.f(x)在(-1
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已知函数f(x)=1+x-
+
-
+…+
,则下列结论正确的是( )
A.f(x)在(0,1)上恰有一个零点
B.f(x)在(0,1)上恰有两个零点
C.f(x)在(-1,0)上恰有一个零点
D.f(x)在(-1,0)上恰有两个零点
答案
C
解析
函数的导数为f′(x)=1-x+x
2
-…+x
2012
=
=
.当x∈(0,1)时,f′(x)>0,此时函数单调递增.当x∈(-1,0)时,f′(x)>0,此时函数单调递增.因为f(0)=1>0,所以函数在(0,1)上没有零点.又f(-1)=1-1-
-
-…-
<0,所以函数在(-1,0)上有且只有一个零点,所以选C.
举一反三
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)+xf′(x)>0(其中f′(x)是f(x)的导函数),设a=(
4)f(
4),b=
f(
),c=(lg
)f(lg
),则a,b,c由大到小的关系是________.
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已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax
,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于________.
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电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=
x
3
-
x
2
-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为________.
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设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f′(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x
2
-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a).
(1)设函数f(x)=ln x+
(x>1),其中b为实数.
①求证:函数f(x)具有性质P(b);
②求函数f(x)的单调区间;
(2)已知函数g(x)具有性质P(2).给定x
1
,x
2
∈(1,+∞),x
1
<x
2
,设m为实数,α=mx
1
+(1-m)x
2
,β=(1-m)x
1
+mx
2
,且α>1,β>1,若|g(α)-g(β)|<|g(x
1
)-g(x
2
)|,求m的取值范围.
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记函数f
n
(x)=a·x
n
-1(a∈R,n∈N
*
)的导函数为f′
n
(x),已知f′
3
(2)=12.
(1)求a的值;
(2)设函数g
n
(x)=f
n
(x)-n
2
ln x,试问:是否存在正整数n使得函数g
n
(x)有且只有一个零点?若存在,请求出所有n的值;若不存在,请说明理由;
(3)若实数x
0
和m(m>0且m≠1)满足
=
,试比较x
0
与m的大小,并加以证明.
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