试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断导数的单调性、利用导数求函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问,先求函数的定义域,对求导,由于,所以讨论a的正负,利用的正负,判断函数的单调性;第二问,结合第一问的结论,当时举一反例证明不恒成立,当时,将恒成立转化为恒成立,令,利用导数求的最小值;第三问,要证,需证,令,利用函数的单调性,解出的大小. (1)的定义域为. 其导数 2分 ①当时,,函数在上是增函数; ②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,. 所以,在是增函数,在(0,+∞)是减函数. 4分 (2)当时, 则取适当的数能使,比如取, 能使, 所以不合题意 6分 当时,令,则 问题化为求恒成立时的取值范围. 由于 在区间上,;在区间上,. 8分 的最小值为,所以只需 即,, 10分 (3)由于存在两个异号根,不仿设,因为,所以 11分 构造函数:()
所以函数在区间上为减函数. ,则, 于是,又,,由在上为减函数可知.即 14分 |