已知函数,.(1)若存在,使得,求a的取值范围;(2)若有两个不同的实数解,证明:.
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已知函数,.(1)若存在,使得,求a的取值范围;(2)若有两个不同的实数解,证明:.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
,
.
(1)若存在
,使得
,求a的取值范围;
(2)若
有两个不同的实数解
,证明:
.
答案
(1)(1,+∞);(2)证明过程详见解析.
解析
试题分析:本题考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数最值、恒成立问题等基础知识,考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,先将已知不等式进行转化,将所求的参数分离出来,构造新的函数,利用“
单调递增,
单调递减”判断函数的单调性,确定函数最值的位置,并求出函数的最值,代入到所转化的式子中即可;第二问,将方程的2个根分别代入到方程中,得到2个式子,2个式子作差,得到方程将a分离出来,对
求导,将
代入,将上述的a也代入,得到所求式子的左边,只需证明
即可,通过变形,只需证明
即可,构造新函数
,所以利用导数求函数的最小值,判断
,即
.
试题解析:(1)当
x
∈(0,+∞)时,
f
(
x
)<0等价于
.
令
,则
,
当
x
∈(0,1)时,
g
¢(
x
)<0;当
x
∈(1,+∞)时,
g
¢(
x
)>0.
g
(
x
)有最小值
g
(1)=1. 4分
故
a
的取值范围是(1,+∞). 5分
(2)因
f
(
x
)=
x
,即
x
2
-ln
x
=(
a
+1)
x
有两个不同的实数解
u
,
v
.
故
u
2
-ln
u
=(
a
+1)
u
,
v
2
-ln
v
=(
a
+1)
v
.
于是(
u
+
v
)(
u
-
v
)-(ln
u
-ln
v
)=(
a
+1)(
u
-
v
). 7分
由
u
-
v
<0解得
.
又
,所以
. 9分
设
,则当
u
∈(0,
v
)时,
,
h
(
u
)在(0,
v
)单调递增,
h
(
u
)<
h
(
v
)=0,
从而
,因此
. 12分
举一反三
设函数
,且
,则
( )
A.0
B.-1
C.3
D.-6
题型:不详
难度:
|
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如图,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线
左侧的图形的面积为
,则
(1)函数
的解析式为_______;
(2)函数
的图像在点P(t
0
,f(t
0
))处的切线的斜率为
,则t
0
=____________.
题型:不详
难度:
|
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在用土计算机进行的数学模拟实验中,一种应用微生物跑步参加化学反应,其物理速度与时间的关系是
,则( )
A.
有最小值
B.
有最大值
C.
有最小值
D.
有最大值
题型:不详
难度:
|
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在用土计算机进行的数学模拟实验中,一个应用微生物跑步参加化学反应,其物理速度与时间的关系是
,则( )
A.
有最小值
B.
有最大值
C.
有最小值
D.
有最大值
题型:不详
难度:
|
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设函数
的定义域是
,其中常数
.(注:
(1)若
,求
的过原点的切线方程.
(2)证明当
时,对
,恒有
.
(3)当
时,求最大实数
,使不等式
对
恒成立.
题型:不详
难度:
|
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