(1)解:∵关于的不等式的解集为, 即不等式的解集为, ∴. ∴. ∴. ∴. (2)解法1:由(1)得. ∴的定义域为. ∴. ………3分 方程(*)的判别式 .………4分 ①当时,,方程(*)的两个实根为 ………5分 则时,;时,. ∴函数在上单调递减,在上单调递增. ∴函数有极小值点. ………6分 ②当时,由,得或, 若,则 故时,, ∴函数在上单调递增. ∴函数没有极值点.………7分 若时, 则时,;时,;时,. ∴函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增. ∴函数有极小值点,有极大值点. ………8分 综上所述, 当时,取任意实数, 函数有极小值点; 当时,,函数有极小值点,有极大值点.…9分 (其中, ) 解法2:由(1)得. ∴的定义域为. ∴. ………3分 若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点,且 至少有一个零点在上. ………4分 令, 得, (*) 则,(**)…………5分 方程(*)的两个实根为, . 设, ①若,则,得,此时,取任意实数, (**)成立. 则时,;时,. ∴函数在上单调递减,在上单调递增. ∴函数有极小值点. ………6分 ②若,则得 又由(**)解得或, 故.………7分 则时,;时,;时,. ∴函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增. ∴函数有极小值点,有极大值点. ………8分 综上所述, 当时,取任何实数, 函数有极小值点; 当时,,函数有极小值点,有极大值点.…9分 (其中, ) (3)∵, ∴. ∴
. ………10分 令, 则 . ∵, ∴…11分 12分
.………13分 ∴,即. ……………14分 证法2:下面用数学归纳法证明不等式. ① 当时,左边,右边,不等式成立; ………10分 ②假设当N时,不等式成立,即, 则
………11分 ………12分 . ………13分 也就是说,当时,不等式也成立. 由①②可得,对N,都成立. …14分 |