试题分析:(1)由得, ,要使不等式恒成立,必须恒成立. 设,, ,当时,,则是增函数, ,是增函数,,. 因此,实数的取值范围是. 5分 (2)当时,, ,在上是增函数,在上的最大值为. 要对内的任意个实数都有 成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值, 当时不等式左边取得最大值,时不等式右边取得最小值. ,解得. 因此,的最大值为. 9分 (3)证明(法一):当时,根据(1)的推导有,时,, 即. 10分 令,得, 化简得, 13分 . 14分 (法二)数学归纳法:当时,左边=,右边=, 根据(1)的推导有,时,,即. 令,得,即. 因此,时不等式成立. 10分 (另解:,,,即.) 假设当时不等式成立,即, 则当时, , 要证时命题成立,即证, 即证. 在不等式中,令,得 . 时命题也成立. 13分 根据数学归纳法,可得不等式对一切成立. 14分 点评:难题,本题属于导数应用中的基本问题,像涉及恒成立问题,往往通过研究函数的最值达到解题目的。证明不等式问题,往往通过构造新函数,研究其单调性及最值,而达到目的。本题(II)解法较多,涉及复杂式子变形,学生往往失去耐心而失分。 |