本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。 (1)中,函数 在 处取得极值为2那么可知道a,b的值,求解得到解析式。然后分析范围 (2)根据由于 ,故只需要证明 时结论成立 由 ,得 ,构造函数的思想,利用导数来得到证明。 解:(Ⅰ)![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018053558-74147.png) 由 及 得, (2分)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018053559-60372.png) 设 , 得 (4分) (Ⅱ) ,令![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018053600-36532.png)
的增区间为 ,故当 时, . 即 ,故 (6分) (法一)由于 ,故只需要证明 时结论成立 由 ,得 , 记 ,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018053601-35840.png)
,则 , 设 , ,
为减函数,故 为减函数 故当 时有 ,此时 , 为减函数 当 时 , 为增函数 所以 为 的唯一的极大值,因此要使 ,必有![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018053605-21494.png) 综上,有 成立 (12分) (法二) 由已知: ① 下面以反证法证明结论: 假设 ,则 , 因为 , ,所以 , 又 ,故![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018053606-67213.png) 与①式矛盾 假设 ,同理可得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018053607-72503.png) 与①式矛盾 综上,有 成立 (12分) |