本试题主要考查了分段函数的极值的问题的运用。利用三次函数的极值的判定结合证明。以及利用单调性证明不等式的问题的综合运用。 (1)分别对于两段函数的单调性进行判定,确定极值问题。 (2)先对当x >0时,先比较ex – 1与ln(x + 1)的大小, 然后得到就是f (x) > g (x) , 成立.再比较 与g (x1) –g (x2) =ln(x1 + 1) –ln(x2 + 1)的大小.,利用作差法得到证明。 解:(1)当x>0时,f (x) = ex – 1在(0,+∞)单调递增,且f (x)>0; 当x≤0时, . ①若m = 0,f ′(x) = x2≥0, f (x) = 在(–∞,0]上单调递增,且f (x) = . 又f (0) = 0,∴f (x)在R上是增函数,无极植; ②若m<0,f ′(x) = x(x + 2m) >0,则f (x) = 在(–∞,0)单调递增,同①可知f (x)在R上也是增函数,无极值; ………………4分 ③若m>0,f (x)在(–∞,–2m]上单调递增,在(–2m,0)单调递减, 又f (x)在(0, +∞)上递增,故f (x)有极小值f (0) = 0,f (x)有极大值 . 6分 (2)当x >0时,先比较ex – 1与ln(x + 1)的大小, 设h(x) = ex – 1–ln(x + 1) (x >0) h′(x) = 恒成立 ∴h(x)在(0,+∞)是增函数,h(x)>h (0) = 0 ∴ex – 1–ln(x + 1) >0即ex – 1>ln(x + 1) 也就是f (x) > g (x) , 成立. 故当x1 – x2>0时,f (x1 – x2)> g (x1 – x2)……………………………10分 再比较 与g (x1) –g (x2) =ln(x1 + 1) –ln(x2 + 1)的大小.
=![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018053714-59382.png) =![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018053715-22530.png) ∴g (x1 – x2) > g (x1) –g (x2) ∴f (x1 – x2)> g (x1 – x2) > g (x1) –g (x2) . |