(1)解 ∵函数f(x)的图象关于原点对称, ∴对任意实数x有f(-x)=-f(x), ∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d, 即bx2-2d=0恒成立. ∴b=0,d=0,∴f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c. ∵x=1时,f(x)取极小值-, ∴3a+c=0,a+c=-.解得a=,c=-1. (2)证明 假设图象上存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),使得过此两点处的切线互相垂直,则由f′(x)=x2-1,知两点处的切线斜率分别为k1=x-1,k2=x-1,且(x-1)·(x-1)=-1.(*) ∵x1,x2∈[-1,1],∴x-1≤0,x-1≤0, ∴(x-1)·(x-1)≥0.这与(*)式相矛盾,故假设不成立. ∴图象上不存在符合条件的两点. (3)证明 令f′(x)=x2-1=0,则x=±1. ∴当x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)时,f′(x)>0; x∈(-1,1)时f′(x)<0. ∴f(x)在[-1,1]上是减函数,且f(x)max=f(-1)=, f(x)min=f(1)=-. ∴在[-1,1]上,|f(x)|≤,∴当x1,x2∈[-1,1]时, |f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤+=. |