求下列函数在x=x0处的导数.（1）f（x）=cosx·sin2x+cos3x，x0=；（2）f（x）=，x0=2；（3）f（x）=，x0=1.

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求下列函数在x=x₀处的导数.
（1）f（x）=cosx·sin²x+cos³x，x₀=

；
（2）f（x）=

，x₀=2；
（3）f（x）=

，x₀=1.

答案

（1）f′（

）=-

（2）f′(2)=0（3）f′(1)="-"

解析

（1）∵f′(x)=［cosx(sin²x+cos²x)］′
=(cosx)′=-sinx,∴f′（

）=-

.
(2)∵f′(x)=

,∴f′(2)=0.
(3)∵f′(x)=(x

)′-x′+(lnx)′=-

-1+

,
∴f′(1)="-"

举一反三

设a＞0,函数f(x)=

,b为常数.
（1）证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个；
（2）若函数f(x）的极大值为1，极小值为-1，试求a的值.

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已知函数f（x）=x³-ax²-3x.
（1）若f（x）在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=-

是f（x）的极值点，求f（x）在［1，a］上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.

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对于函数f(x)=bx³+ax²-3x.
（1）若f(x)在x=1和x=3处取得极值，且f(x)的图象上每一点的切线的斜率均不超过2sintcost-2

cos²t+

,试求实数t的取值范围；
（2）若f(x）为实数集R上的单调函数，且b≥-1,设点P的坐标为（a,b)，试求出点P的轨迹所围成的图形的面积S.

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若函数f(x)=

>0)在[1，+∞）上的最大值为

,求a的值。

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已知函数f(x)=

x³-2ax²+3x(x∈R).
（1）若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.

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