(1)由f(x)=bx3+ax2-3x, 则f′(x)=3bx2+2ax-3, ∵f(x)在x=1和x=3处取得极值, ∴x=1和x=3是f′(x)=0的两个根且b≠0. . ∴f′(x)=-x2+4x-3. ∵f(x)的图象上每一点的切线的斜率不超过 2sintcost-2cos2t+, ∴f′(x)≤2sintcost-2cos2t+对x∈R恒成立, 而f′(x)=-(x-2)2+1,其最大值为1. 故2sintcost-2cos2t+≥1 2sin(2t-)≥12k+≤2t-≤2k+,k∈Z k+≤t≤k+,k∈Z. (2)当b=0时,由f(x)在R上单调,知a=0. 当b≠0时,由f(x)在R上单调 f′(x)≥0恒成立,或者f′(x)≤0恒成立. ∵f′(x)=3bx2+2ax-3, ∴Δ=4a2+36b≤0可得b≤-a2. 从而知满足条件的点P(a,b)在直角坐标平面aOb上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b=-a2与直线b=-1所围成的封闭图形, 其面积为S=(1-a2)da=4. |