已知函数 ,,其中(1)若,求的极小值;(2)在(1)条件下证明;(3)是否存在实数,使的最小值为3,如果存在,求出实数的值,若不存在,说明理由.
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已知函数 ,,其中(1)若,求的极小值;(2)在(1)条件下证明;(3)是否存在实数,使的最小值为3,如果存在,求出实数的值,若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
,
,其中
(1)若
,求
的极小值;(2)在(1)条件下证明
;(3)是否存在实数
,
使
的最小值为3,如果存在,求出实数
的值,若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)
f
(
x
)的极小值为
f
(1)=1 (Ⅱ) 略 (Ⅲ)
a=e
2
解析
:(1)∵
f
(
x
)=
ax
-ln
x
,
f
′
(
x
)="1-"= ,∴当0<
x
<1时,
f
′
(
x
)<0,此时
f
(
x
)单调递减;
当1<
x
<
e
时,
f
′
(
x
)>0,此时
f
(
x
)单调递增。3分∴
f
(
x
)的极小值为
f
(1)=1.4分
(2)∵
f
(
x
)的极小值为1,即
f
(
x
)在(0,
e
)上的最小值为1,∴
f
(
x
)>0,
f
(
x
)
min
=1.……6分
令
h
(
x
) =
g
(
x)
+ = + ,
h′
(
x
)=
,
当
时,
h′
(
x
)>0,
h
(
x
)在
上单调递增,
∴
h
(
x
)
h
(
e
)= +<+=1,…9分∴在(1)的条件下,
f
(
x
)>
g
(
x
)+.…10分
(3)假设存在实数
a
,使
f
(
x
) =
ax
-ln
x
,
x
∈[0,
e
]有最小值3,
f′
(
x
)=
a
- = ,
①当0<<
e
时,
f
(
x
)在(0,)上单调递减,在(,
e
]上单调递增.
f
(
x
)
min
=
f
()=1+ln
a
=3,
a=e
2
,满足条件.……13分
②当≥
e
时,
f
(
x
)在
上
单调递减,
f
(
x
)
min
=
f
(
e
)=
ae
-1=3,
a=
(舍去),
所以,此时
f
(
x
)无最小值.…15分
综上,存在实数
a=e
2
,使得当
x
∈(0,
e
]时
f
(
x
)有最小值为3.…16分
举一反三
(本小题满分12分)函数
当
时,
取得极大值2(1)用关于
的代数式分别表示
与
。(2)求
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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已知:函数
(1)若
,求
在
上的最小值和最大值.(2)若
在
上是增函数,求:实数a的取值范围;
题型:不详
难度:
|
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函数
在
上( )
A.是增函数
B.是减函数
C.有最大值
D.有最小值
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
,(1)若
图象有与
轴平行的切线,求
的取值范围;(2)若
在
时取得极值,且
时,
恒成立,求
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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的导数是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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