设函数f（x）=xm+ax的导数f′（x）=2x+3，则数列{1f(n)+2}（n∈N*）的前n项和是（　　）A．2nn+1B．n2(n+2)C．n-1n+1D

题型：不详难度：来源：

设函数f（x）=x^m+ax的导数f′（x）=2x+3，则数列{

1

f(n)+2

}（n∈N^*）的前n项和是（　　）

A． 2n n+1

B． n 2(n+2)

C． n-1 n+1

D． 2(n+1) n+2

答案

∵f（x）=x^m+ax的导数f"（x）=mx^m-1+a=2x+3，
∴m=2，a=3，
∴f（x）=x²+3x，
设a_n=

1

f(n)+2

，
∴则a_n=

1

f(n)+2

=

1

n2+3n+2

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴数列{

1

f(n)+2

}（n∈N^*）的前n项和
S_n=a₁+a₂+…+a_n
=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．
故选B．