(1)易得,f1(x)=(-x2+2x)e -x, f2(x)=(x2-2x+2)e -x, f3(x)=(-x2+x-3)e -x, ∴f3(0)=-3. (2)不失一般性,设函数fn-1(x)=(an-1x2+bn-1x+cn-1)eλx,导函数为fn(x)=(anx2+bnx+cn)eλx, 其中n=1,2,…,常数λ≠0,a0=1,b0=c0=0. 对fn-1(x)求导得:fn-1′(x)=[λan-1x2+(2an-1+λbn-1]x+(bn-1+λcn-1)]eλx, 故由fn-1′(x)=fn(x)得:an=λan-1 ①, bn=2an-1+λbn-1 ②, cn=2bn-1+λcn-1 ③ 由①得:an=λn,n∈N, 代入②得:bn=2λn+λbn-1,即=+,其中n=1,2,…, 故得:bn=2n•λn-2+λcn-1. 代入③得:cn=2nλn-2+λcn-1,即=+,其中n=1,2,…, 故得:cn=n(n-1)•λn-2, 因此fn(0)=cn=n(n-1)λn-2. 将λ=-代入得:fn(0)=n(n-1)(-)n-2.其中n∈N. (3)由(2)知fn+1(0)=n(n+1)(-)n-1, 当n=2k(k=1,2,…)时,S2k-S2k-1=f2k+1(0)=2k(2k+1)(-)2k-1<0, ∴S2k-S2k-1<0,S2k<S2k-1故当Sn最大时,n为奇数. 当n=2k+1(k≥2)时,S2k+1-S2k-1=f2k+2(0)+f2k+1(0) 又f2k+2(0)=(2k+1)(2k+2)(-)2k,f2k+1(0)=2k(2k+1)(-)2k-1, ∴f2k+2(0)+f2k+1(0)=(2k+1)(2k+2)(-)2k+2k(2k+1)(-)2k-1=(2k+1)(k-1)(-)2k-1<0, ∴S2k+1<S2k-1,因此数列{S2k+1}是递减数列 又S1=f2(0),S3=f2(0)+f3(0)+f3(0)=2, 故当n=1或n=3时,Sn取最大值S1=S3=2. |