记f(1)(x)=[f(x)]′,f(2)(x)=[f(1)(x)]′,…,f(n)(x)=[f(n-1)(x)]′(n∈N+,n≥2).若f(x)=xcosx

记f(1)(x)=[f(x)]′,f(2)(x)=[f(1)(x)]′,…,f(n)(x)=[f(n-1)(x)]′(n∈N+,n≥2).若f(x)=xcosx

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记f(1)(x)=[f(x)]′,f(2)(x)=[f(1)(x)]′,…,f(n)(x)=[f(n-1)(x)]′(n∈N+,n≥2).若f(x)=xcosx,则f(0)+f(1)(0)+f(2)+L+f(2013)(0)的值为______.
答案
由f(x)=xcosx,得f(1)(x)=cosx-xsinx,f(2)(x)=-sinx-sinx-xcosx=-2sinx-xcosx,
f(3)(x)=-2cosx-cosx+xsinx=-3cosx+xsinx,f(4)(x)=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx,f(5)(x)=4cosx+cosx-xsinx=5cosx-xsinx,…,
则f(0)+f(1)(0)+f(2)+…+f(2013)(0)=0+1+0-3+0+5+0-…+2013=(1-3)+(5-7)+…++2013=-2×503+2013=1007,
故答案为:1007.
举一反三
函数f(x)=tanx在点(
π
4
,1)处的切线斜率是 ______.
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函数y=x2+2x+1在x=1处的导数等于______.
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记函数f(x)的导数为f(1)(x),f(1)(x)的导数为f(2)(x),…f(n-1)(x)的导数为f(n)(x)(n∈N*).若f(x)可进行n次求导,则f(x)均可近似表示为:f(x)≈f(0)+
f(1)(0)
1!
x+
f(2)(0)
2!
x2+
f(3)(0)
3!
x3+…+
f(n)(0)
n!
xn,其中n!=n(n-1)(n-2)(n-3)…3×2×1,若取n=3,根据这个结论,则可近似估计自然对数的底数e≈______(用分数表示).
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已知可导函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3x2+2xf′(5),则f′(5)=______
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已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x)=fn-1′(x),(n∈N*,n≥2),则f1(
π
2
)+f2(
π
2
)+…+f2012(
π
2
)
=______.
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