记f（1）（x）=[f（x）]′，f（2）（x）=[f（1）（x）]′，…，f（n）（x）=[f（n-1）（x）]′（n∈N+，n≥2）．若f（x）=xcosx
题型：不详难度：来源：
| 记f（1）（x）=[f（x）]′，f（2）（x）=[f（1）（x）]′，…，f（n）（x）=[f（n-1）（x）]′（n∈N+，n≥2）．若f（x）=xcosx，则f（0）+f（1）（0）+f（2）+L+f（2013）（0）的值为______． |
答案
由f（x）=xcosx，得f（1）（x）=cosx-xsinx，f（2）（x）=-sinx-sinx-xcosx=-2sinx-xcosx，
f（3）（x）=-2cosx-cosx+xsinx=-3cosx+xsinx，f（4）（x）=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx，f（5）（x）=4cosx+cosx-xsinx=5cosx-xsinx，…，
则f（0）+f（1）（0）+f（2）+…+f（2013）（0）=0+1+0-3+0+5+0-…+2013=（1-3）+（5-7）+…++2013=-2×503+2013=1007，
故答案为：1007． |
举一反三
| 函数f（x）=tanx在点（，1）处的切线斜率是 ______． |
| 函数y=x2+2x+1在x=1处的导数等于______． |
| 记函数f（x）的导数为f（1）（x），f（1）（x）的导数为f（2）（x），…f（n-1）（x）的导数为f（n）（x）（n∈N*）．若f（x）可进行n次求导，则f（x）均可近似表示为：f（x）≈f（0）+x+x2+x3+…+xn，其中n！=n（n-1）（n-2）（n-3）…3×2×1，若取n=3，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数e≈______（用分数表示）． |
| 已知可导函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（5），则f′（5）=______ |
| 已知f1（x）=sinx+cosx，记f2(x)=f1′(x)，f3(x)=f2′(x)，…，fn(x)=fn-1′(x)，(n∈N*，n≥2)，则f1()+f2()+…+f2012()=______． |
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