设函数f(x)=ex-e-x,(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围。
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设函数f(x)=ex-e-x, (Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2; (Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围。 |
答案
解:(Ⅰ)f(x)的导数 , 由于 , 故f′(x)≥2,(当且仅当x=0时,等号成立)。 (Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax, 则 , (ⅰ)若a≤2,当x>0时, , 故g(x)在(0,+∞)上为增函数, 所以,x≥0时,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax; (ⅱ)若a>2,方程g′(x)=0的正根为 , 此时,若 ,则g′(x)<0,故g(x)在该区间为减函数, 所以, 时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax相矛盾; 综上,满足条件的a的取值范围是(-∞,2]。 |
举一反三
下列求导运算正确的是 |
[ ] |
A.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018083746-49445.gif) B.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018083746-45197.gif) C.(3x)′= 3xlog3e D (x2cosx)′=-2xsin x |
已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)等于 |
[ ] |
A.0 B.-4 C.-2 D.2 |
设f(x)=x(x-1)(x-2)·…·(x-1000),则f′(0)=( )。 |
已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+lnx,则f′(1)= |
[ ] |
A.-e B.-1 C.1 D.e |
若函数f(x)=1+ (x∈R),则log2f(3)=( )。 |
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