已知函数f(x)=x3-ax2-3x.(1)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间.
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已知函数f(x)=x3-ax2-3x. (1)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围; (2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间. |
答案
(1)a≤0 (2)f(x)的单调递增区间为,[3,+∞),f(x)的单调递减区间为. |
解析
解:(1)对f(x)求导, 得f′(x)=3x2-2ax-3. 由f′(x)≥0,得a≤. 记t(x)=,当x≥1时,t(x)是增函数, ∴t(x)min= (1-1)=0.∴a≤0. (2)由题意,得f′(3)=0, 即27-6a-3=0, ∴a=4.∴f(x)=x3-4x2-3x, f′(x)=3x2-8x-3. 令f′(x)=0,得x1=-,x2=3. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x
|
| -
|
| 3
| (3,+∞)
| f′(x)
| +
| 0
| -
| 0
| +
| f(x)
|
| 极大值
|
| 极小值
|
| ∴f(x)的单调递增区间为,[3,+∞),f(x)的单调递减区间为. |
举一反三
已知函数f(x)=ln x+2x,g(x)=a(x2+x). (1)若a=,求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间; (2)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是________. |
已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围是________. |
已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)极大值与极小值之差为________. |
设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围. |
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