已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是________.
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是________. |
答案
-13 |
解析
求导得f′(x)=-3x2+2ax, 由函数f(x)在x=2处取得极值知 f′(2)=0, 即-3×4+2a×2=0,∴a=3. 由此可得f(x)=-x3+3x2-4, f′(x)=-3x2+6x, 易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增, ∴当m∈[-1,1]时, f(m)min=f(0)=-4. 又f′(x)=-3x2+6x的图像开口向下, 且对称轴为x=1, ∴当n∈[-1,1]时, f′(n)min=f′(-1)=-9. 故f(m)+f′(n)的最小值为-13. |
举一反三
已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围是________. |
已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)极大值与极小值之差为________. |
设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围. |
设函数f(x)=ln x- -ln a(x>0,a>0且为常数). (1)当k=1时,判断函数f(x)的单调性,并加以证明; (2)当k=0时,求证:f(x)>0对一切x>0恒成立; (3)若k<0,且k为常数,求证:f(x)的极小值是一个与a无关的常数. |
已知函数f(x)=(x-a)(x-b)2,a,b是常数. (1)若a≠b,求证:函数f(x)存在极大值和极小值; (2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1,x2,设点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).如果直线AB的斜率为- ,求函数f(x)和f′(x)的公共递减区间的长度; (3)若f(x)≥mxf′(x)对于一切x∈R恒成立,求实数m,a,b满足的条件. |
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