试题分析:(1)求得函数f(x)的导函数,利用曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0垂直,即可求a的值; (2)先将原来的恒成立问题转化为lnx≤m(x−),设g(x)=lnx−m(x−),即∀x∈(1,+∞),g(x)≤0.利用导数研究g(x)在(0,+∞)上单调性,求出函数的最大值,即可求得实数m的取值范围. (3)由(2)知,当x>1时,m=时,lnx< (x−)成立.不妨令x=,k∈N*,得出 [ln(2k+1)−ln(2k−1)]<,k∈N*,再分别令k=1,2,,n.得到n个不等式,最后累加可得. (1) 2分 由题设,∴ ,. 4分 (2),,,即 设,即. 6分 ①若,,这与题设矛盾. 7分 ②若方程的判别式 当,即时,.在上单调递减, ,即不等式成立. 8分 当时,方程,设两根为 , 当,单调递增,,与题设矛盾. 综上所述, . 10分 (3) 由(2)知,当时, 时,成立. 不妨令 所以, 11分 12分 累加可得 ∴ ∴ ---------------14分 |