已知函数其中a是实数.设,为该函数图象上的两点,且.(1)指出函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且,求的最小值;(3

已知函数其中a是实数.设,为该函数图象上的两点,且.(1)指出函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且,求的最小值;(3

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已知函数其中a是实数.设为该函数图象上的两点,且
(1)指出函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且,求的最小值;
(3)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.
答案
(1)[-1,0),(0,+∞)
(2)1
(3)(-ln2-1,+∞)
解析
(1)函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞).
(2)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为
故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有
当x<0时,对函数f(x)求导,得
因为,所以
所以
因此
当且仅当,即时等号成立.
所以函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,的最小值为1.
(3)当时,,故
时,函数f(x)的图象在点处的切线方程为

时,函数f(x)的图象在点处的切线方程为,即
两切线重合的充要条件是
由(1)式及知,
由(1)(2)式得,


所以是减函数.

所以
又当且趋近于-1时,无限增大,
所以a的取值范围是
故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是
举一反三
已知函数
(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(2)当m≤2时,证明f(x)>0.
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,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
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若函数上为递减函数,则m的取值范围是    
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函数y=x2㏑x的单调递减区间为(    )
A.(1,1]B.(0,1]C.[1,+∞)D.(0,+∞)

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如图是函数的导函数的图象,给出下列命题:
①-2是函数的极值点
②1是函数的极小值点
在x=0处切线的斜率大于零
在区间(-,-2)上单调递减
则正确命题的序号是   

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