(1). 由x=0是f(x)的极值点得f "(0)=0,所以m=1. 于是f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),. 函数在(-1,+∞)上单调递增,且f "(0)=0,因此当x∈(-1,0)时, f "(x)<0;当x∈(0,+∞)时, f "(x)>0. 所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时, f(x)>0. 当m=2时,函数在(-2,+∞)上单调递增. 又f "(-1)<0, f "(0)>0,故f "(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实根,且. 当时, f "(x)<0;当时, f "(x)>0,从而当时,f(x)取得最小值. 由f "(x0)=0得=,, 故. 综上,当m≤2时, f(x)>0. |